conjuntos y operaciones
‒ Operaciones con conjuntos.
Las operaciones con conjuntos también conocidas como álgebra de conjuntos, nos permiten realizar operaciones sobre los conjuntos para obtener otro conjunto. De las operaciones con conjuntos veremos las siguientes unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complemento.
‒ Unión o reunión de conjuntos.
Es la operación que nos permite unir dos o más conjuntos para formar otro conjunto que contendrá a todos los elementos que queremos unir pero sin que se repitan. Es decir dado un conjunto A y un conjunto B, la unión de los conjuntos A y B será otro conjunto formado por todos los elementos de A, con todos los elementos de B sin repetir ningún elemento. El símbolo que se usa para indicar la operación de unión es el siguiente: ∪. Cuando usamos diagramas de Venn, para representar la unió de conjuntos, se sombrean los conjuntos que se unen o se forma uno nuevo. Luego se escribe por fuera la operación de unión.
Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5,6,7,} y B={8,9,10,11} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:También se puede graficar del siguiente modo:
Ejemplo 2.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la unión de estos conjuntos será A∪B={1,2,3,4,5,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la unión será F∪B={x/x estudiantes que juegan fútbol o básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.Dados los dos conjuntos A={3, 5, 6, 7} y B={5,6}, en donde B está incluido en A, la unión será AUB={3,5,6,7}. Usando diagramas de Venn se tendría
‒ Intersección de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, sólo con los elementos comunes involucrados en la operación. Es decir dados dos conjuntos A y B, la de intersección de los conjuntos A y B, estará formado por los elementos de A y los elementos de B que sean comunes, los elementos no comunes A y B, será excluidos. El símbolo que se usa para indicar la operación de intersección es el siguiente: ∩.
Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la intersección de estos conjuntos será A∩B={4,5}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.Dados dos conjuntos A={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la intersección será F∩B={x/x estudiantes que juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ Diferencia de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que pertenecen al primero pero no al segundo. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia de los conjuntos entra A y B, estará formado por todos los elementos de A que no pertenezcan a B. El símbolo que se usa para esta operación es el mismo que se usa para la resta o sustracción, que es el siguiente: -.
Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será A-B={1,2,3}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia de estos conjuntos será B-A={6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 3.Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia de F con B, será F-B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 4.Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia de B con F, será B-F={x/x estudiantes que sólo juegan básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ Diferencia de simetrica de conjuntos.
Es la operación que nos permite formar un conjunto, en donde de dos conjuntos el conjunto resultante es el que tendrá todos los elementos que no sean comunes a ambos conjuntos. Es decir dados dos conjuntos A y B, la diferencia simétrica estará formado por todos los elementos no comunes a los conjuntos A y B. El símbolo que se usa para indicar la operación de diferencia simétrica es el siguiente: △.
Ejemplo 1.Dados dos conjuntos A={1,2,3,4,5} y B={4,5,6,7,8,9} la diferencia simétrica de estos conjuntos será A △ B={1,2,3,6,7,8,9}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.Dados dos conjuntos F={x/x estudiantes que juegan fútbol} y B={x/x estudiantes que juegan básquet}, la diferencia simétrica será F △ B={x/x estudiantes que sólo juegan fútbol y básquet}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
‒ Complemento de un conjunto.
Es la operación que nos permite formar un conjunto con todos los elementos del conjunto de referencia o universal, que no están en el conjunto. Es decir dado un conjunto A que esta incluido en el conjunto universal U, entonces el conjunto complemento de A es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal pero sin considerar a los elementos que pertenezcan al conjunto A. En esta operación el complemento de un conjunto se denota con un apostrofe sobre el conjunto que se opera, algo como esto A' en donde el el conjunto A es el conjunto del cual se hace la operación de complemento.
Ejemplo 1.Dado el conjunto Universal U={1,2,3,4,5,6,7,8,9} y el conjunto A={1,2,9}, el conjunto A' estará formado por los siguientes elementos A'={3,4,5,6,7,8}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:
Ejemplo 2.Dado el conjunto Universal U={x/x estudiantes de un colegio} y el conjunto V={x/x estudiantes que juegan voley}, el conjunto V' estará formado por los siguientes elementos V'={x/x estudiantes que no juegan voley}. Usando diagramas de Venn se tendría lo siguiente:‒ ¿Qué es un producto cartesiano?
Se conoce como producto cartesiano al conjunto de todas las tuplas que se puedan obtener con los elementos de varios conjuntos. Una tupla es una secuencia ordenada de los elementos de un producto cartesiano o cualquier entidad matemática. Cuando una tupla esta formada sólo con dos elementos se le conoce como par ordenado ó dupla.El producto cartesiano de dos conjuntos, es el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden obtener con los elementos de dos conjuntos. Un par ordenado o una tupla de dos elementos, estará compuesto por un primer elemento de un conjunto y un segundo elemento de otro conjunto. Un par ordenado se escribe encerrando los elementos entre paréntesis y separados por una coma. Es decirdado dos conjuntos A y B, el producto cartesiano estará formado por los pares ordenados (a,b) en donde el primer elemento a pertenece al Conjunto A y el segundo elemento b pertenece al conjunto B. Expresado simbólicamente tenemos:A x B = {(a,b)/ a ∈ A y b ∈ B}En donde nos dice que el producto cartesiano de AxB, esta formado por los pares ordenados (a,b), tal que el primer elemento a pertenece al conjunto B y el segundo elemento b pertenece al conjunto B.Ejemplo 1.Si A={3,4} y B={1,3,8} y C={3,8,9}, hallar (A x B) ⋂ (B x C).Hallamos el producto cartesiano de AxB ={(3,1),(3,3),(3,8),(4,1),(4,3),(4,8)}Hallamos el producto cartesiano de BxC={(1,3),(1,8),(1,9),(3,3),(3,8),(3,9),(8,3),(8,8),(8,9)}Ahora hallamos la intersección de (A x B) ⋂ (B x C) = {(3,3),(3,8)}La representación gráfica de un producto cartesiano se puede hacer con una tabla cartesiana, diagrama de flechas, diagrama cartesiano o un diagrama de árbol.Ejemplo 2.Sea A={3,4} y B={5,6,7}, representar gráficamente el producto cartesiano de AxB, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de A x B ={(3,5),(3,6),(3,7),(4,5),(4,6),(4,7)}Tabla cartesiana:Diagrama con flechas:Diagrama cartesiano:Diagrama de árbol:Para productos cartesianos de más de dos conjuntos, las tuplas estarán formadas por más de dos elementos, y en estos se suelen nombrar del siguiente modo. Para 3 elementos 3-tupla, tripla, tripleta, terna o triada, para 4 elementos 4-tupla o cuádrupla, para 5 elementos 5-tupla o quíntupla, para 6 elementos 6-tupla o sixtupla, para 7 elementos 7-tupla o septupla, para 8 elementos 8-tupla o octupla, para 9 elementos 9-tupla y asi sucesivamente.Ejemplo 3.Sea A={3,4}, B={5,7} y C={1,2} representar gráficamente el producto cartesiano de AxBxC, con una tabla cartesiana, un diagrama de flechas, diagrama cartesiano y un diagrama de árbol. Hallamos el producto cartesiano de AxBxC={(3,5,1)(3,5,2)(3,7,1)(3,7,2)(4,5,1)(4,5,2)(4,7,1)(4,7,1)}Tabla cartesiana:Diagrama con flechas:Diagrama cartesiano (En perspectiva):
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