Matemáticas discretas

Revisa la división decimal larga. Si ya ha pasado bastante tiempo desde la última vez que resolviste una división larga con números decimales ordinarios (base diez), revisa los conceptos básicos utilizando el siguiente problema: 172 ÷ 4. De lo contrario, pasa directamente al siguiente paso para aprender el mismo proceso en binario.

El divisor es el número que divide al dividendo, y la respuesta es el cociente.
Compara el divisor con el primer dígito del dividendo. Si el divisor es el número más grande, sigue añadiendo dígitos al dividendo hasta que el divisor sea el número más pequeño. (Por ejemplo, al calcular “172 ÷ 4”, comparamos “4” y “1” y observamos que “4 > 1”, entonces comparamos en su lugar “4” con “17”)
Escribe el primer dígito del cociente encima del último dígito del dividendo que utilizaste en la comparación. Al comparar “4” y “17”, observamos que el “4” se encuentra cuatro veces dentro de “17”, así que escribimos “4” como el primer dígito de nuestro cociente, encima del “7”.
Multiplica y resta para que encuentres el restante. Multiplica el dígito cociente con el divisor, en este caso “4 x 4 = 16”. Escribe el número “16” debajo del “17”, luego resta “17 - 16” para encontrar el restante, o sea “1”.
Repite. Una vez más, comparamos el divisor “4” con el siguiente dígito, “1”. Observamos que “4 > 1”, y "bajamos" el siguiente dígito del dividendo para comparar “4 con 12” en su lugar. El número “4” se encuentra tres veces dentro de “12” y no tiene restante, por lo que escribimos “3” como el siguiente dígito del cociente. La respuesta es “43”.

Establece el problema de división larga binaria. Usaremos el siguiente ejemplo: 10101 ÷ 11. Escríbelo como un problema de división larga, con el número “10101” como dividendo y el “11” como divisor. Deja espacio encima para escribir el cociente, y debajo para escribir tus cálculos.

Compara el divisor con el primer dígito del dividendo. Esto funciona igual que un problema de división decimal larga, pero en realidad es mucho más sencillo en binario. No podrás dividir el número por el divisor (0), o el divisor podrá encontrarse dentro solo una vez (1):

Si “11 > 1”, entonces “11” no puede encontrarse dentro de “1”. Escribe “0” como el primer dígito del cociente (encima del primer dígito del dividendo).

Agrega al siguiente dígito y repite hasta que obtengas “1”. Estos son los pasos para nuestro ejemplo:

Baja el siguiente dígito del dividendo. Si “11 > 10”, escribe “0” en el cociente.
Baja el siguiente dígito. Si “11 < 101”, escribe “1” en el cociente.

Encuentra el restante. Al igual que con la división decimal larga, multiplicamos el dígito que acabamos de encontrar (1) con el divisor (11), y escribimos el resultado debajo de nuestro dividendo en línea con el dígito que acabamos de calcular. En binario, podemos tomar un atajo, ya que si multiplicas “1” por el divisor siempre será igual al divisor:

Escribe el divisor debajo del dividendo. En este paso, escribimos el número “11” debajo de los tres primeros dígitos (101) del dividendo.
Calcula “101 - 11” para obtener el restante, o sea “10”. Si es necesario, puedes revisar nuestro artículo sobre cómo restar números binarios.

Repite hasta que termines el problema. Baja el siguiente dígito del divisor al restante para que obtengas “100”. Debido a que “11 < 100”, escribe “1” como el siguiente dígito del cociente. Continúa el problema con el método anterior:

Escribe “11” debajo del “100” y resta para obtener “1”.
Baja el último dígito del dividendo para obtener “11”.
Si “11 = 11”, escribe “1” como último dígito del cociente (es decir, la respuesta).
No debe existir restante al completar el problema. La respuesta es “00111”, o simplemente “111”.

Agrega un punto de raíz, si es necesario. A veces, el resultado no es un número entero. Si aún tienes restante después de utilizar el dígito final, agrega un "0.0" al dividendo y un "." al cociente para que puedas bajar otro dígito y continuar. Repite hasta que llegues a la especificidad deseada y luego, redondea la respuesta. En el papel, puedes redondear cortando el último “0”, o, si el último dígito es “1”, déjalo de lado y agrega “1” al nuevo último dígito. En programación, utiliza uno de los algoritmos estándar al redondear, así evitarás cometer errores al convertir números binarios a decimales y viceversa.^[3]

A menudo, los problemas de división binaria terminan repitiendo fracciones más a menudo que en la notación decimal.^[4]
Esto se conoce como "punto de raíz" y se aplica a cualquier base, ya que el "punto decimal" solo se utiliza en el sistema decimal.^[5]

Método 2
Utilizar el método de complemento

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Aprende el concepto básico. Una manera de resolver problemas de división (en cualquier base) es continuar restando el divisor del dividendo y luego el restante, mientras se avanza el número de veces que puedas antes de obtener un número negativo. A continuación, te presentamos el siguiente ejemplo "26 ÷ 7":
- 26 - 7 = 19 (resta 1 vez)
- 19 - 7 = 12 (2)
- 12 - 7 = 5 (3)
- 5 - 7 = -2. Este es un número negativo, por lo que debes retroceder. La respuesta es “3” con un restante de “5”. Ten en cuenta que este método no calcula ninguna porción de la respuesta que no sea entera.
2
Aprende a realizar una resta de complementos. Aunque simplemente puedes utilizar el método anterior en binario, puedes restar con este método que es más eficiente y ahorra tiempo en la programación de computadoras para dividir números binarios. Este es la sustracción de complementos en binario. A continuación, te presentamos sus fundamentos. Calculamos “111 – 011” (asegúrate de que ambos números tengan la misma longitud):
- Encuentra el complemento del segundo término de los unos, restándole “1” a cada dígito. En binario, esto se realiza fácilmente cambiando cada “1” por “0” y cada “0” por “1”.^[6]^[7] En nuestro ejemplo, “011” se convierte en “100”.
- Agrega un uno al resultado: 100 + 1 = 101. Esto se conoce como el complemento a dos, y nos permite ejecutar la resta como una suma.^[8] En esencia, el resultado es como si sumáramos un número negativo en lugar de restar uno positivo, una vez que terminemos el proceso.
- Agrega el resultado al primer término. Escribe y resuelve la suma: 111 + 101 = 1100.
- Descarta el dígito de acarreo. Descarta el primer dígito de tu respuesta para obtener el resultado final "1100 → 100".
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Combina los dos conceptos anteriores. Ahora ya has aprendido el método de sustracción para resolver problemas de división y el método de complemento a dos para resolver problemas de resta. Los puedes combinar y volverlos un solo método para resolver problemas de división. Solo tienes que seguir los pasos anteriores.^[9] Si deseas, trata de calcularlo tú mismo antes de continuar.
4
Resta el divisor del dividendo, agregando el complemento a dos. Utilizaremos el siguiente ejemplo: 100011 ÷ 000101. El primer paso es resolver “100011 – 000101”, utilizando el método de complemento a dos para convertirlo en una suma:
- El complemento a dos de: 000101 = 111010 + 1 = 111011
- 100011 + 111011 = 1011110
- Descarta el acarreo → 011110
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Agrega un uno al cociente. En un programa de computadora, este es el punto en el que incrementas el cociente por uno. Anótalo en algún rincón del papel en el que no se confunda con tus otros cálculos. Logramos restar con éxito una sola vez, por lo que el cociente hasta ahora es "1".
6
Repite restando el divisor del restante. El resultado de nuestro último cálculo es el restante que queda después de que el divisor "se encuentra dentro" una sola vez. Continúa agregando cada vez el complemento a dos del divisor y descarta el acarreo. Súmale uno cada vez al cociente y repite hasta que obtengas un restante que sea igual o menor que el divisor:^[10]^[11]
- 011110 + 111011 = 1011001 → 011001 (cociente 1+1=10)
- 011001 + 111011 = 1010100 → 010100 (cociente 10+1=11)
- 010100 + 111011 = 1001111 → 001111 (11+1=100)
- 001111 + 111011 = 1001010 → 001010 (100+1=101)
- 001010 + 111011 = 10000101 → 0000101 (101+1=110)
- 0000101 + 111011 = 1000000 → 000000 (110+1=111)
- El “0” es menor que “101”, por lo que nos detenemos en ese punto. El cociente “111” es la respuesta al problema de división. El restante es el resultado final de nuestra resta, en este caso “0” (sin restante).